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Después de 3 días: \(405 \times 0.90 = 364.5\) gramos. - AdVision eCommerce

📅 May 4, 2026 👤 scraface

May 04, 2026

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📌 2Frage: Was ist die größte ganze Zahl, die das Produkt von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen stets teilt?

📌 Lösung: Sei die drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen \( n, n+1, n+2 \). Unter drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer eine durch 2 teilbar und mindestens eine durch 3 teilbar. Da dies für jedes \( n \) gilt, muss das Produkt \( n(n+1)(n+2) \) durch \( 2 \times 3 = 6 \) teilbar sein. Um zu prüfen, ob eine größere feste Zahl immer teilt: Betrachten wir \( n = 1 \): \( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \), teilbar nur durch 6. Für \( n = 2 \): \( 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \), teilbar durch 6, aber nicht notwendigerweise durch eine höhere Zahl wie 12 für alle \( n \). Da 6 die höchste Zahl ist, die in allen solchen Produkten vorkommt, ist die größte ganze Zahl, die das Produkt von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen stets teilt, \( \boxed{6} \).

📌 Frage: Was ist der größtmögliche Wert von \( \gcd(a,b) \), wenn die Summe zweier positiver ganzer Zahlen \( a \) und \( b \) gleich 100 ist?

📌 Lösung: Sei \( d = \gcd(a,b) \). Dann gilt \( a = d \cdot m \) und \( b = d \cdot n \), wobei \( m \) und \( n \) teilerfremde ganze Zahlen sind. Dann gilt \( a + b = d(m+n) = 100 \). Also muss \( d \) ein Teiler von 100 sein. Um \( d \) zu maximieren, minimieren wir \( m+n \), wobei \( m \) und \( n \) teilerfremd sind. Der kleinste mögliche Wert von \( m+n \) mit \( m,n \ge 1 \) und \( \gcd(m,n)=1 \) ist 2 (z. B. \( m=1, n=1 \)). Dann ist \( d = \frac{100}{2} = 50 \). Prüfen: \( a = 50, b = 50 \), \( \gcd(50,50) = 50 \), und \( a+b=100 \). Somit ist 50 erreichbar. Ist ein größerer Wert möglich? Wenn \( d > 50 \), dann \( d \ge 51 \), also \( m+n = \frac{100}{d} \le \frac{100}{51} < 2 \), also \( m+n < 2 \), was unmöglich ist, da \( m,n \ge 1 \). Daher ist der größtmögliche Wert \( \boxed{50} \).

📌 Frage: Wie viele der 150 kleinsten positiven ganzen Zahlen sind kongruent zu 3 (mod 7)?

📌 Lösung: Wir suchen die Anzahl der positiven ganzen Zahlen \( n \le 150 \), sodass \( n \equiv 3 \pmod{7} \). Solche Zahlen haben die Form \( n = 7k + 3 \). Wir benötigen \( 7k + 3 \le 150 \), also \( 7k \le 147 \) → \( k \le 21 \). Da \( k \ge 0 \), reichen \( k = 0, 1, 2, \dots, 21 \), also insgesamt 22 Werte. Somit gibt es \( \boxed{22} \) solche Zahlen.

📌 Frage: Was ist die kleinste vierstellige Zahl, die sowohl durch 12 als auch durch 18 teilbar ist?

📌 Lösung: Eine Zahl, die durch beide teilbar ist, muss durch ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches teilbar sein. Berechnen: \( \text{lcm}(12, 18) \). Primfaktorzerlegung: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \), \( 18 = 2 \cdot 3^2 \) → \( \text{lcm} = 2^2 \cdot 3^2 = 36 \). Wir suchen die kleinste vierstellige Zahl, die durch 36 teilbar ist. Die kleinste vierstellige Zahl ist 1000. Teilen: \( 1000 \div 36 \approx 27.78 \). Die kleinste ganze Zahl \( k \) mit \( 36k \ge 1000 \) ist \( k = 28 \). Dann \( 36 \times 28 = 1008 \). Überprüfen: \( 1008 \ge 1000 \), und \( 1008 \div 36 = 28 \), also teilbar. Somit ist die kleinste vierstellige Zahl, die durch beide teilbar ist, \( \boxed{1008} \).

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